[第20集] 克拉默法则、逆矩阵、体积

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第20集] 克拉默法则、逆矩阵、体积。

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视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

1，先从逆矩阵开始。

2X2矩阵的逆矩阵为：

推导出逆矩阵的公式等于1除以行列式的值，再乘上由代数余子式组成的矩阵。

d 为 a11 的余子式

-b 为 a21 的余子式

-c 为a12 的余子式

a 为 a22 de 余子式

结果为余子式的转置方式，故有：

证明。

detA由n个元素的乘积组成，

伴随矩阵各元素由n-1个乘积组成。

假设

则公式可证。

展开有：

因为（取i=1，2，3，…，n）：

中间对角元素为

根据公式，若某行的元素乘以对应的代数余子式，各项相加，结果等于行列式的值。此时元素和代数余子式都来自同一行。但是如果元素和代数余子式来自不同的行，例如2X2矩阵

第一行（a，b）乘以第二行的余子式（-b，a）,结果为0。

相当于行列式[a,b; a,b]的值，根据为a乘以a的余子式加上b乘以b的余子式，即（a，b）乘以（a，b）的余子式。

2，克莱姆法则

如果Ax = b求解

先得到前两项

继续求解B1，B2…

B1相当于把行列式A的第一列用b代替。 

使用代数余子式沿第一列展开，b的第一分量b1乘以的余子式就是c11，因此克莱姆法则：

Bj就等于矩阵A的第j列用b来代替。

3，行列式的应用—求体积。

命题是：行列式的值等于一个箱子的体积。

先假设行列式是3X3.

箱子的体积等于行列式值的绝对值。

行列式的符号表示箱子是左手系还是右手系。

单位矩阵对应的箱子体积为单位立方体。

通过证明箱子体积具有行列式的三性质，由于行列式由三性质定义，则箱子体积必定等于行列式的值。

假设有一个正交矩阵Q，A=Q，它的各列都是标准正交向量，各列都是单位向量，并且相互垂直。即，相当于单位矩阵被旋转。

对于正交矩阵Q，它满足：

对两边求值，根据性质9

根据性质10，Q的转置等于Q

行列式性质3b

认为任意平行四边形面积为边坐标行列式的值：

顶点不在原点的三角形

构造矩阵，通过消元把顶点平移到原点。