[第25集] 复习二

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第25集] 复习二。

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视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

矩阵标准正交的描述：Q^TQ = I

矩阵到线或者子空间的投影

解决Ax=b的问题：用最小二乘，等式无解时可以找到最优解

Graham-Schmidt正交化方法 

行列式的性质

逆矩阵公式

特征值和特征向量，求解特征向量的方程

1，例题1

向量a=（2，1，2）

求投射到向量a所在直线的投影矩阵P

对任意向量b投射到a上，则矩阵P乘以b就得到b在a上的投影。

根据通用公式：

P = A(A^TA)^(-1)AT 

因为a为单列矩阵，A^TA是一个数值

则P就转换为：

同样，可求特征值与特征向量。

因列空间是通过（2，1，2）的直线，矩阵P的秩为1，是个奇异矩阵，0是一个特征值。零空间为2维，则另一个特征值也是0。因为逆为（4+1+4）/9=1,则最后一个特征值为1.

2,例题2

求解Uk+1 = PUk

U1为PUo，即Uo在P上的投影，根据公式U2=PPUk，根据投影特性，P在P上的投影等于P，P = P^n

因此Uk = U1

对于任意投影P，由于Uo = λ1×1+λ2×2+λ3×3+……

则

3，例题3

已知 t=1, y=4; t=2, y=5; t=3, y=8

求方程 y=Dt

构造矩阵：

这就是方式Ax=b，为求得最优D

A^TAD = A^Tb

将b向量投影到a空间，x是做出投影的最优组合

4，Graham-Schmidt正交

向量a1=(1, 2, 3)^T, a2=(1,1,1)^T

用a2构造垂直于a1的向量B。

a2减去a2在a1上的投影即得到垂直于a1的向量B

很容易求得垂直于a1的正交向量。

一个4X4矩阵，特征值分别是λ1、λ2、λ3、λ4

问题：怎样的特征值使矩阵可逆。

特征值满足什么条件可逆：特征值不等于0， 零意味着零空间里有非零向量

Ax=0x有非零解，因此可逆意味着特征值都不为0

detA^(-1) = (1/λ1)(1/λ2)(1/λ3)(1/λ4)

矩阵(A+I)的迹==》对角线元素的和 =λ1+λ2+λ3+λ4+4

5，例题5

4阶矩阵A，中间三条对角线上的元素都为1：

试用公式来表示An的行列式Dn。

Dn = __Dn-1+__Dn-2

推导递归式：沿第一行展开，a11乘以其代数余子式，即Dn-1；

沿第二行展开，a12乘以其代数余子式，因（1+2）为奇数，展开时余子式取负，再对余子式展开，原来的a12现在变为（假设）b11，展开后，余子式为Dn-2，符号为正。则，综合两次展开情况，沿第二行展开时，余子式为-Dn-2

因此：

Dn = Dn-1 – Dn-2

下一步解方程，初值D1=1，D2=0，构造矩阵

求解方程就是求解矩阵的特征值。

代入公式 det|A-λI|=0

λ²-λ+1 = 0

需要记住这个复数：

cosθ+ isinθ

这里θ=60°或者π/3

两个特征值分别为：

λ1 = e^(iπ/3)，λ2=e^(-iπ/3)

由特征值在圆上的位置，可以得到一个结论，λ1和λ2的6次方等于1。反映到矩阵上就是矩阵A的六次方的特征值等于1，即A的六次方为单位矩阵I。

6，例题6

对于矩阵A，主对角线元素为0，n-1和n+1对角线元素分别为1，2，3，…，n

对称矩阵，A的转置等于A

求投影到A3列空间的投影矩阵P。

先求A3的特征值。

再求投影到A4列空间的投影矩阵

推导：要求A4列空间的投影矩阵，如果矩阵可逆的话，其列空间等于R^4列空间本身，即单位矩阵。现在问题转换成了判断A4是否可逆。沿代数余子式展开两次，detA4 = 9

问题：

奇数号矩阵都是奇异的？

偶数号矩阵都是可逆的？