[第2集] 欧拉数值方法及推广

根据之MIT微分方程视频所做的笔记—[第2集] 欧拉数值方法及推广。

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视频地址：http://open.163.com/special/opencourse/equations.html

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这节课的内容：

数值方法

初值问题

欧拉方法

初值问题

两层含义：一是微分方程本身，二是方程解从何处开始。

欧拉方法

初始点(x0, y0)，此点的斜率是f(x,y)，那么方程的解就在f(x,y)方向上。这样可以通过这个点做线素，方程的解就是各个线素的折线近似。

这个就是导数的定义公式了。当h趋向于0时，An=f(x,y).

欧拉公式

数值方法

就是选好步长，然后一步步带入计算。

想起了大学课程计算方法，当初挂掉的一门课。

函数凹凸性与估算值的关系

凹函数偏小，凸函数偏大。

误差分析（较好方法）

1，步长越小误差越小；

2，误差与步长成正比。

误差分析（休恩法）

找到一个更好的斜率值，使下一点落回到曲线上：使用An和Bn斜率的平均值。

而Bn就是(xn+1,yn+1)这一点的斜率值。休恩法是二阶方法，误差与h²成正比：e~c2h²。

Runge-Kutta method

休恩法与步长2次方成正比，所以又叫RK2；RK4是计算机作图中的标准方法。