[第12集] 二阶非齐次方程

根据之MIT微分方程视频所做的笔记—[第12集] 二阶非齐次方程

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视频地址：http://open.163.com/special/opencourse/equations.html

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1，二阶非齐次方程

相伴的齐次方程：

2，弹簧振动方程

式子中，x”即加速度a，物体受到的力ma，等于收到的所有外力：弹力-kx，阻尼器-bx’,和直接外力f(t)

3，电路的基尔霍夫定律（环路电压为0）

物理方程：

由于电量的微分是电流，所以两边对时间t微分得到二阶非齐次方程：

如果E(t)不是时间的函数（比如干电池），则方程变为二阶齐次方程，电路进入稳态。如果E(t)是时间的函数（比如交流电），则方程为二阶非齐次方程，电路处于震荡状态。

4，线性非齐次方程Ly=f(x)的解：

其中yp是Ly=f(x)的特解。

证明一：yp+c1y1+c2y2是Ly的解：

证明二：所有的解都包含在yp+c1y1+c2y2中。

假设存在另外的解u(x)，可证u依然存在于通解中。

所以解方程步骤：

1，求Ly=0的通解；

2，求Ly=f(x)的特解。