[第21集] 特征值和特征向量

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第21集] 特征值和特征向量。

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视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

求一特征值使向量A满足

det[A-λI] = 0

经过A变换，Ax中的向量有些与x方向相同（或相反），这些就是特征向量。

即Ax平行于x。

Ax = λx

如果A=0，则λ=0是一个特征值—非特殊！（所有Ax都满足，而不是有些满足）

求一投影矩阵的特征向量。

正好落在平面上的向量，其投影与自身在同一平面上。

对任意在平面上的向量x（P表示对在平面上对x取投影）

Px = x（λ=1）

说明整个平面上的向量都是特征向量。

其余特征向量：

任意垂直于平面的向量x，Px = 0 ==> λ=0

 则特征值λ = （1，0）

如何证明Ax = λx

移到同一侧，再写出来：

（A-λI）x = 0

对任意x满足时，（A-λI）必须是一个奇异矩阵，

则 

det(A-λI) = 0

这就是特征方程或叫特征值方程。

例：

带入特征方程有

可以解出来

λ1=4, λ2=2

可以求特征向量x1 = A-4I

特征向量x2 = A-2I

可以看到两个向量都是奇异矩阵且相互垂直（点积为0）

重要特性

If Ax = λx

then (A+3I)x = λx+3x = (λ+3)x

但是, A B ∈AT 空间

If Ax = λx

   Bx = αx

(A+B) ≠ (λ+α)x

因为 Bx = αx 相当于By = αy，但是 x≠y

推论：特征值不具有线性！

即A+B，AB 的的特征值不具有相关性。

除非B是单位矩阵的倍数时，具有线性。

特征值也可以是复数，对称矩阵或者接近对称的矩阵，特征值是实数；

反对称矩阵或者接近反对称矩阵，特征值是复数。