[第22集] 对角化和A的幂

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第22集] 对角化和A的幂。

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视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

矩阵对角化

S^(-1)AS = Λ

A有n个线性无关特征向量，其按列组成矩阵S。

则

即

实现矩阵对角化。

这个对角矩阵，即特征值矩阵，记为大写Λ。表明其中元素是由特征值构成，切在对角线的位置上。

公式：

AS = SΛ => A=SΛS^(-1)

公式成立的前提是n个特征向量是线性无关的。

考虑A²的特征值

If  Ax = λx

得到：A²x =  λAx = λ²x

特征向量同样成立

另一种方法

If  A = SΛS^(-1)

=> A² = SΛS^(-1)SΛS(-1) = SΛ²S^(-1)

即特征向量不变，但是特征值变为原来的平方。

同理可证 A^k = SΛ^kS^(-1)

定理

Then A^k ->0 as k->∞

If |λ|<1

纯粹的特征值方法和特征向量方法都需要存在n个线性无关特征向量，

如果不存在n个线性无关特征向量，矩阵就不能对角化，就得不到对角矩阵。

大前提：

A必然存在n个线性无关特征向量，而且可对角化。如果所有λ值不同，即没有重复的特征值。

解方程

如果 Uk+1 = AUk

U1 = AUo, U2 = A²Uo, … … Uk = A^kUo

数列与特征值之间的关系。

举例菲波那切数列，由于其特征值只有两个，其增长速度由大于1的那个决定。

动态问题，其增长速度由特征值决定。