[第23集] 微分方程和exp(At)

 

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第23集] 微分方程和exp(At)。

—————————————————————————————————

视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

—————————————————————————————————

这节课的内容：

解一阶方程

一阶方程可以转换为线性代数的方法，关键思路就是常系数线性方程的解是指数形式的。如果你在找一个指数形式，那你得找到指数是多少，及它的系数是多数，这样就转换成了线代的问题。我们会发现者和矩阵的幂完全平行。

例题

初值为U, 假设(u1, u2)在时间0的初值为 u(0) = （1，0）; 

u(t) = Au

求解特征值和特征向量。

特征值：

λ=0，-3

得到特征向量x1,x2

则可得到u(t)

证明其为方程的解

检查 du/dt = Au

代入值可知：

代入初值u(0) = (1, 0)

得到 c1 = 1/3, c2 = 1/3

方程的解u(t)为

可知方程的稳态

u(∞) = 1/3(2, 1)

探讨方程的问题

1，趋于稳态的条件是u(t)->0. 在本例中需要λ的实部为负数

2，稳态的条件：λ1=0，其余的λ实部<0

3，任何λ的实部>0，则方程无法收敛

 

二阶系统的稳定性

对于一个2X2矩阵，判断它的实部是否都小于零，首先λ1+λ2<0，且行列式的值>0

对于原方程 du/dt = Au

矩阵A表明u1, u2耦合，现在的问题是如何解耦。

令 u = Sv

S为常数阵，也就是特征向量矩阵。

矩阵A的非对角元素都不等于0，解耦就是对角化，u=Sv代入方程得到

S(dv/dt) = ASv

左乘S的逆矩阵S^(-1)

dv/dt = S^(-1)ASv = Λv

得到v的对角化方程组。

新方程组不存在耦合 dv1/dt = λ1v1

由之前求得的值知道

v(t) = e^(Λt)v(0)

==>u(t) = Se^(Λt)v(0)

含有矩阵的指数是神马意思？

e^(At)

把幂指数函数Taylor展开：

求逆公式成立的条件是级数收敛，即A的特征值小于1。

证明

e^(At) = Se^(Λt)S^(-1)

因为A=SΛS^(-1), 通过Taylor展开,再把左边的S与右边的S^(-1)提取出来，即:

Se^(Λt)S-1

有一个前提，A矩阵可以对角化，不然S的逆矩阵不存在。

构造数列方法

例 y″+by′+ky = 0

令 u=[y′，y]

则 u′= [y″，y′] = [-b, -k ; 1, 0][y′；y] 

二阶微分方程转换成了一阶向量方程。