[第24集] 马尔可夫矩阵;.傅立叶级数

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第24集] 马尔可夫矩阵;.傅立叶级数。

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视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

马尔科夫矩阵

傅里叶级数

1，什么是马尔科夫矩阵？

满足两条性质：

1，每个元素大于等于0，矩阵平方后每个元素仍然大于0

马尔科夫矩阵有概率思想，因此非负的。

2，每一列加起来都是1

矩阵的幂都是马尔科夫矩阵。

马尔科夫矩阵存在一个值为1的特征值，因为每一列和为1，必然存在。

矩阵收敛的条件：

1，存在λ=1这个特征值

2，其余所有特征值的绝对值小于1

连续相乘时：

一旦从k=0的Uo开始，每个矩阵A都会引进这些λ值，所以稳态就是λ1=1，且其余的λ绝对值小于1，这样高次幂时可以把后面的项都去掉。稳态趋向于初始条件Uo的x1部分。

则马尔科夫矩阵的特征矩阵为：

特征值就是对角线元素减去后使得矩阵奇异的数，也就是说，矩阵是奇异阵时，其必有一个特征值为1.

由列的和为零，可知 A-I 矩阵为奇异阵。

推理：

列线性相关 <== 每列的和都为0

行向量线性相关 <== 线性组合(1,1,1)使各行为0 <== (1,1,1)不在矩阵的零空间

==> 矩阵是奇异阵

A的转置和A的特征值相同

推理：

det(A-λI)=0 : 性质10,矩阵行列式的值等于其转置行列式的值

==> detA^T-det(λI) = 0

==>det(A^T-λI)=0

可以矩阵的求出特征向量（0.6, 33, 0.7）

示例：

加州和麻省的人口迁移问题。

t=k+1时，麻省和加州的人口数

t=k时，加州向麻省迁移0.1，剩余0.9；麻省向加州迁移0.2，剩余0.8.

马尔科夫矩阵的数学解释。

假设初值Ucal=0, Umass=1000;

经过一次迁移：Ucal=200， Umass=800

稳态就是两地最终的人口数。

奇异阵的特点可知，λ1=1

（矩阵的迹：矩阵主对角线上所有元素之和，也只矩阵特征值的和）

根据矩阵的迹：λ2=0.7

同样，求得特征矩阵和特征向量：

稳态时不用考虑小于1的特征值，即x1决定最后两地人口数的比例。

如果考虑有限时间两地的状态，需要求出两个特征向量。

任意时间方程的值为：

马尔科夫方程的特点就是任意时刻，总量不会变。

2，傅里叶级数—投影问题

解释：如果有一组标准正交基，每个基向量的系数都很容易求得。

x1=q1^tV

已知函数f(x)，想把它写成组合的形式，它应该有个常数项，包含cosx,sinx, cos2x,sin2x, …等等。

f(x) = a0+a1cosx+b1cosx+a2cos2x+b2sin2x+….

关键是，正交性对cosx和sinx成立，这样傅里叶级数才成立。

函数的点积为乘积的积分！

对三角函数，f(x) = f(x+2π)，∫sinxcosdx 在[0-2π]上为0，因此都是正交向量。

同样可求得每一项的系数:

每一项和cosx求内积得到，左边为 ∫f(x)cosxdx

右边 a1∫(cosx)²dx

即a1 = (1/π)∫f(x)cosxdx