[第26集] 对称矩阵及正定性

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第26集] 对称矩阵及正定性。

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    视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

对称矩阵的相关只是，A=A^T

1，实对称矩阵的特征值也是实数；

2，特征向量都是正交的。（不计算重复特征值的情况）

判断A的对称性：

对矩阵A可以写成特征值矩阵和特征向量矩阵的表达式：

由于A是对称矩阵，特征向量相互垂直，因此可以变换成相互正交的特征向量，用Q表示，Q的列向量标准正交。

对于一个列向量标准正交的矩阵，Q的逆等于Q的转置。则A就变换成了：

A = QΛQ^T

很容易看出A=A^T.给定一个对称矩阵，就可以分解成正交矩阵乘以对角矩阵乘以正交矩阵的转置；同理如果A可以变换成这种形式，则A为对称矩阵。

在数学上叫谱定理，谱就是矩阵的特征值集合；矩阵分解成特征值和特征向量，在力学中称作主轴定理。

 

证明特征值都是实数：

我们知道 Ax=λx

其共轭方式总是成立（对a+ib取共轭得到a-ib）

既然A为实数矩阵，A的共轭等于A本身；A为对称阵，A=A^T.

对于实数矩阵，如果其有一特征值λ和x，则必然存在另一组共轭特征值/λ和/x.

对等式取转置，再右乘以x；对Ax=λx左乘以x的共轭的转置，再利用对称性质得到两个公式：

如果x共轭的转置左乘x不为0，可以得到结论：λ等于λ的共轭！

证明等式不为0：

有结论：如果一个x向量为复向量，那么x的共轭的转置左乘以x就是其长度的平方。

矩阵A性质好的判定：

对于实数矩阵A，A=A^T

如果A是复数矩阵，只有当A的共轭的转置等于A时，特征值为正的证明才能成立。

 

证明垂直性：

每一个对称矩阵都是一些互相垂直的投影矩阵的组合。理解谱定理的另一种方法。

 

思考：既然对称矩阵的特征值是实数，那特征值是正数还是负数？

性质1：主元的符号与特征值的符号一致。

性质2：个数相同，大于0的主元的个数等于正特征值的个数。

(矩阵的主元是在矩阵消元时每列要保留的非零元素，即主对角线的元素。)

对称矩阵主元的乘积等于特征值的乘积！因为它们都等于矩阵行列式的值，如果没有行交换，主元乘积就是行列式的值，特征值的乘积总是等于行列式。

 

什么是正定矩阵？

性质1：对称矩阵的一个子类——所有特征值都是正数。

性质2：所有主元都是正数？YES！

性质3：所有子行列式都是正。