[第32集]基变换和图像压缩

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第32集]基变换和图像压缩。

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    视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课看了两遍才看个大概，不知道到底理解到哪一步，还请明白人多多指教。

这节课的内容：

基变换

压缩相关知识

这章的主题是线性变换与矩阵的关联，线性变换不一定是在坐标系内，矩阵用坐标来表示线性变换，即矩阵基于坐标来描述线性变换。

一个512X512的图像。对黑白图像来说，像素表示的是灰度值，从0到255.一个像素就表示为xi，取值范围是[0,255)，换句话说就是有2^8种可能性，占8个比特位。每个像素都有一个值，共有512²个像素。（按我的理解，我们看到的照片的大小多少像素里面，每个像素也是表示一个灰度值，然后我们看图片的时候，显示器把这些灰度值翻译成具体的灰度，这样我们就可以看到真实的图像）我们实际上是对R^n中的向量x做操作，在这里，n=512²。一个图像就是一个向量，含有图像的信息，一个图像里面可以得到一个长度为n的向量。如果是彩色图像，长度就是这个的三倍（三原色？）。

标准压缩方式，即当前录像用到的叫做JPEG，联合图像专家组—Joint Photographic Experts Group。

基变换

我们当前的标准基是每个像素的一个值，我们有长度为512²长度的向量x，xi取值范围是0≤xi<255。

衬衫、黑板的例子就是说明，当图像的像素的灰度差距不大是，这时候的标准版无法描述复杂的图像，所以不适合做标准基。 一个基本的事实，各处每个像素值的标准基，要充分利用上这个特点，就是我们得到的大部分像素点，其灰度值和相邻像素灰度值是一样的。标准基应该充分表达出这种不同，而不需要在这些细微的不同中找差异。（类似于描述正态分布曲线，如果只有100位的标准基，标准基应该取-50到50这个范围，每个间隔1，而不是取 -5~5，每个间隔0.1。前者可以充分展示出集中性，比如十个向量就描述了整个图像；而后者细分了相似情况下的差异，需要100个向量才能描述）

一个非常好的基向量就是，所有元素都为1的向量，这不在标准基中。

 

构造好用的基向量：

所有元素都为1的向量，它自己一个向量就能完整的给出所有像素一致图像的信息。最烂的向量是-1和1交替，表示最混乱的情况。

好用的基，就是对相同的图像来说，可以用最少的向量来描述它（只要我们的眼睛无法区分就行），这样其占用的空间最小。

 

无损压缩步骤（傅里叶基）

输入信号x 

==> 进行基变换（选择一组更好的基）

==> 得到系数c 

==> 输入64个像素，得到64个系数（到现在是无损压缩）

==>扔掉较小系数的压缩（有损压缩），叫做阀值量化，每个系数，每个基向量，超过阀值的（阀值设定为我们肉眼看不出区别为止）

==> 得到压缩后的一套系数C’,里面有很多0。可能全1的向量很少扔掉，一般情况下它的系数比较大，但是像正负符号频繁交替的向量，在平滑信号中，出现的次数就很少了（即系数很小）。频繁交替的基本是高频信号，噪音或者抖动，全1的是低频信号，频率为0。

==> 丢掉系数小的信号后，用剩下的乘以对应的基向量重构信号，这时候求和项就不再有64个，即实现了压缩。

小波基

每一个R^8中的向量都是这些标准基的组合。关于线性代数的问题就是，找出这些组合的系数。

例题，8个像素P，表示成小波基：

第一步变换是信息的无损压缩步骤。构造矩阵，然后进行基变换。现在看出小波基的好处了，如果列向量标准正交，那么逆等于其转置。

基变换的方法

已知一个基上的向量，在变换到不同的基中时，令矩阵为W，则W的列向量就是新基的向量。已知在旧基下的x，然后转换成新基下的向量c，确切关系就是 x = Wc

已知线性变换T，对于nxn的矩阵来说的，假设是从八维空间变换到八维空间的。引入矩阵，对于第一组基，v1到v8，得到矩阵A；第二组基，w1到w8，得到矩阵B。则A、B相似。

A是变换T的矩阵？

A是由T变换过来，但是A、B分别取不同的基变换的，于是每个向量有了不同的坐标，两组新坐标的关系就是相似。

矩阵是什么？A是什么？

利用基v1到v8，如果我们知道作用在八个基向量上的变换是什么，就可以知道T的具体情况。只要知道T作用到v1上是什么，T作用到v2上是什么……因为T是线性变换，x是这些基的组合，只要知道基向量的变换，就可以表示所有向量。

如果有一组特征向量基，T(vi)和vi同向，则A经过变换成了对角阵。特征向量基是完美基！