[第33集] 单元检测3复习

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第33集] 单元检测3复习。

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    视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

习题课

习题1，解微分方程：

矩阵A是一个奇异阵，因一、三行线性相关，即消元时可以出现全0行，行列式值为0。特别的，矩阵A是一个“反对称阵”，A^T = -A，λ都在虚轴上。

满足AA^T = A^TA时，A具有正交的特征向量。对称阵肯定满足，反对称阵同样满足，正交矩阵也满足。

习题2，c的取值范围：

1，c取何值时原矩阵可以对角化？因三个特征向量相互正交，即有三个线性无关的特征向量，则对所有c，矩阵都可以对角化。（n阶方阵A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量）

2，c取何值时原矩阵对称？当c取实数，就可以得到对称阵。（证明没找到）

3，c取何值时原矩阵正定？不可能啦，因为有个0.（正定矩阵的所有特征值大于0）

4，何时是马尔科夫矩阵？不可能啦，有个2.（马尔科夫矩阵收敛，一个特征值为1，其余的绝对值都小于1）

5，何时是一个投影矩阵的两倍？投影矩阵的特征值就是0和1，只能是0和1，因为P²=P，P为投影矩阵，因此λ²=λ，λ只能是0或者1.在这里，c可以取0或者2。（投影矩阵的两倍）

习题3，奇异值分解：

奇异值分解把矩阵A分解为：正交阵X对角阵X正交矩阵。

对任意矩阵A成立，长方形矩阵也没问题。对称阵时，U=V。

通过Avi = σiui确定特征值的符号，这是奇异值分解的关键。

A乘以特诊向量矩阵V等于U乘以对角阵Σ。

习题4，正交矩阵：

正交矩阵的特征值，其特征值的绝对值等于1.正交矩阵的作用就像旋转，不会改变向量的长度。

任何对称矩阵，任何正交矩阵，都可以对角化。

A对称且正交：

验证法：

投影矩阵是对称阵，满足；

P² = P，A=A^T=A^(-1)满足。

特征值法：

A的特征值为（λ+1）/2，即0和2，除以2为0和1，即投影矩阵。