[第35集] 期末复习

根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第35集] 期末复习。

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    视频地址：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

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这节课的内容：

习题课

习题1：

r是秩，n是列数，m是行数；

矩阵相乘得到3行，m=3；

方程无解时，矩阵的一些行是其它行的线性组合，r<3;

方程有一个解，就可以用这个特解加上零空间的向量得到通解，现在只有一个，证明零空间只有零向量，r=n;

习题2

1，错。方阵的时候成立，如果不是方阵，det(AB) ≠det(A)det(B)（行列式的定义域是nxn的矩阵）

2，如果A的零空间不只是零向量，命题不可逆；如果r=n，零空间只有零向量，A的列线性无关，命令成立。

3，错。det(A)=0的时候就不满足了，半正定满足。

习题3

至少存在一个解，对任意右侧向量c有无穷多个解。

方程组什么时候有解？当行满秩时，即行向量线性无关；一共有n行，而且秩是n，所以至少有一解；因为对A^T的行数n来说，就等于A的列r=n，A^T的行线性无关。A^T的零空间的维数dimN(A^T) = m-r>0；所以零空间有很多值。

习题4

假设矩阵A有三列 v1,v2和v3：

a，解Ax=v1-v2+v3，求x。

矩阵乘法，x=(1,-1,1).

b，假设v1-v2+v3=0，解将不唯一：

如果为0，则x就在A的零空间中，因此零空间不止是{0}，可以把v1-v2+v3加到如何解中，而Ax不会变，解不会唯一。

c，如果v1、v2、v3标准正交，v1、v2怎样的线性组合接近v3：

最接近v3的向量是零向量，以x、y、z轴为例，v1、v2、v3可以是标准基，即x、y、z方向上的向量。xy面上最接近v3，即z轴的点就是零点。因此，标准正交的时候，v3到面的投影是垂直的。0v1+0v2.

习题5，马尔科夫矩阵：

看出col1+col2 = 2(col3)，矩阵奇异，一个特征值是0；

因为这是马尔科夫矩阵，列求和全是1的向量，则一个特征值是1；

迹是0.8，另一个特征值是-0.2；

A在K步之后，uk的值.

习题6：

不是精确解！字母加上帽子。

求这个向量b到矩阵列空间的投影P：最小二乘就是寻找投影，带入b即可。

画出方程组对应的直线：求出的解就是直线。

求一个b，使列的最佳线性组合为0：即b正交这些数列.