[第6集] 指数与对数函数导数、对数微分法—MIT单变量微积分

根据网易公开课之MIT单变量微积分视频所做的笔记—[第6集] 指数与对数函数导数、对数微分法。

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  视频地址：http://v.163.com/special/sp/singlevariablecalculus.html

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这节课的内容：

指数导数

对数导数

对数微分法

幂指数公式

定义a^x可以通过插值成连续值实现。

证明

先根据微分的定义，得出极限值。

然后把求极限值转换为求M(a)的值，M(a)是一个与x无关的常数。由于M(a)满足所有x，则可以举出实例：M(a)就是在a^x函数x=0时的斜率。因为此时a^x=1，可以把两侧的a^x消掉，只留下右侧的M(a)。

看图知道，2^x在x=0处的斜率为M(2).同理，把底a换成任意的数，a^x在x=0处的斜率都是M(a)。这样就可以求得a^x在x=0处的斜率。只要知道一个地方的斜率，就能由此导出函数任意处的斜率。

直接求解M(a)解不出来，所以需要一个假设：假设M(e) = 1。参考上一步，任何底a在x=0处的斜率为M(a)，但是M(a)等于什么，我们不知道。所以假设一个很特别的数，a=e。e^x在x=0处的值就是M(e)，就是1（因为它是1，所以才假定这个数）.然后就可以根据M(e)=1反解出来M，即M=ln。为什么M是ln而不是M=1-e或者别的什么M(e)=1的解，看后面。

证明e存在

对任意的a，只要k=1/M(a)，都可以使a^x在x=0处的斜率为1，而此时b=a^k=e。所以总存在这个e。又因为a^k=e，则k=loge/a(a为底e的对数)，所以M(a)=1/k=lna，即M=ln。

还没证完，后面继续。

引入自然对数

自然对数的导数

先假设e存在，然后列举e的特殊性质，最后证明e存在，同时就确认了e的这些性质。

继续证明：

方法一

M(a)是一个与x无关的常数。

方法二

对数微分法

 

证明

所有的前提是e存在，且有那些特殊性质。