[第29集] 极坐标和极坐标下的面积

根据网易公开课之MIT单变量微积分视频所做的笔记—[第29集] 极坐标和极坐标下的面积。

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视频地址：http://v.163.com/special/sp/singlevariablecalculus.html

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这节课的内容：

参数曲线

极坐标方程

dx与dt的表示方法

微分的各种表示方法，d²x = d(dx)，二阶导数; dx² = (dx)²，微分的平方; d²x/dt² = d(dx/dt)/d，二阶导数。d/dt是求导公式，(d/dt)(dx/dt) = d²x/(dt)² = d²x/dt²。这样子看 (dx/dt)可以表示成 dx²/dt²，但教授不让这么等，不知道为什么。

例题2（求椭圆弧长）

积分太复杂，任何换元都不能化为初等函数的形式，由此引出极坐标系。有些积分是不可积的！

极坐标公式

极坐标及其推导公式，但是要注意正负号。x=rcosθ，y=rsinθ是基本公式，在任何情况下都满足。

两种坐标系的表示

都是平面坐标系。

点的不同表示方法

每种方法都有意义，当 r<0 时，表示向相反方向运动。所以极半径也有可能是负的。

例题3（射线）

因为是射线，就有起点，所以r大于0，不然就变成直线了。注意几种取值范围。

例题4（直线）

因为y的值确定，r就变成了θ的函数。

例题5（偏置）

利用了等式 r² = x²+y²，以及x = rcosθ.

得到 r=r(θ) ，即得到了极坐标函数，因为平时我们用的函数是 y=y(x)。

注意确定取值范围。