[第31集] 不定型和洛必达法则

根据MIT单变量微积分视频所做的笔记—[第31集] 不定型和洛必达法则。

—————————————————————————————

视频地址：http://v.163.com/special/sp/singlevariablecalculus.html

—————————————————————————————

这节课的内容：

洛必达法则

洛必达可以使一些新型极限取得确定值。

例题1

(x^10-1)/(x-1)这个比叫做差商。在极限情况下，差商的值趋向于函数的导数（这就是导数的定义）。

特殊极限的通用形式

这是一般的解题方法。条件是g’(a)≠0。

洛必达法则（形式1）

成立条件是右边的极限必须存在。

例题2

哎，现在竟然对洛必达法则一点儿印象都没了。

例题3

可以二次使用洛必达法则，等式依然成立。得到洛必达法则成立的条件：无论进行多少次洛必达法则，必须最后一个极限存在，前面的等式才有意义。因为可以从最后向前递归，推断第一个等式成立。事实上，f’(a)可以不存在，但是x≠a的时候，f’(x)、g’(x)必须存在。

和逼近法的比较

结果是一样的。但是洛必达法则的意义是解决逼近法不能解决的问题。

洛必达法则的另一个应用

还可以解决f(x)、g(x)趋向于∞时的值问题。但这里没有要求最后的值是个定值，可以是0，也可以是±∞。

例题4

想到乘式怎么变成除式很重要。

例题5

真是忘光了，e^(-px)=1/e^(px)竟然反应了半天。

例题6

笨方法和精妙方法的比较。

例题7

结论：lnx比x变化慢的多，也比x的任意次幂慢得多（正幂）。

例题8

“移动的指数”，e的具体应用。e^(lnx)=x.

例题9

洛必达法则与逼近法的矛盾。在使用洛必达法则时，必须检验等式两边是不是0/0型或者∞/∞，如果不是的话，不能使用洛必达法则。

不要把洛必达法则当做拐杖，也就是说不能见到求极限就用洛必达法则。