[第32集] 反常积分

根据之MIT单变量微积分视频所做的笔记—[第32集] 反常积分。

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视频地址：http://v.163.com/special/sp/singlevariablecalculus.html

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这节课的内容：

无穷的处理

反常积分

洛必达法则基于的三个假设

使用洛必达法则时，必须验证这三个条件。

一些关系式

在x->∞时，变化速度的快慢情况。

反常积分定义

求反常积分的一般方法。如果极限存在，它就是收敛的。画图表示就是图像的面积是有限的，不收敛就是图像面积无限。

例题1

暗含条件：极限存在且有限。

例题2（物理问题）

在涉及到T趋向于∞时的问题，因为不可能等那么长时间，所以都转换为了极限问题。

例题

证明方法：

设积分域为 x ∈(-∞,+∞)

令：F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx

同样 F= (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy

由于x,y是互不相关的的积分变量,因此：

F² = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx * (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy

= [D]∫∫e^(-x²)*dx * e^(-y²)*dy

= [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy

式中积分域D = {(x,y)|x ∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)}

对x,y进行极坐标变换,则:

x²+y² = ρ²；dxdy = ρ*dρ*dθ

F² = [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy

= [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ²) ρ*dρ*dθ

= [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-ρ²) ρ*dρ

= 2π* 1/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ²) *dρ²

= π

因此 F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx = √π

例题3（p=1）

由特殊到一般（任意p）

p与1的大小关系决定函数收敛还是发散。

极限比较

f、g同时收敛或者发散，且变化速度相同，则在趋向于极限时，f=g。

例题

注意把x的范围从0变到1了，避免发生0值点也不收敛的情况出现。原函数在0处是收敛的。

例题

利用刚才的法则，p>1,积分收敛。

注意积分的收敛性问题！不然会得出错误的值。