[第1集] ODE的几何解法：方向场、积分曲线

根据之MIT微分方程视频所做的笔记—[第1集] ODE的几何解法：方向场、积分曲线。

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视频地址：http://open.163.com/special/opencourse/equations.html

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这节课的内容：

常微分方程

方向场

积分曲线

微分方程的形式

y’=dy/dx，分离变量就是把dx与dy分开，然后分别积分求解。

微分方程的几何解释

反过来理解，y1(x)是积分曲线的一个解（点），那么y’就是积分曲线在那一点的斜率，也就是方向场。y1(x)是微分方程的解，当且仅当y1(x)的图像是一条积分曲线。

也许是翻译的不同，方向场我总当成是斜率，线素就是通过点的斜线段，线素总是垂直于斜率。

例题1

微分方程的几何解法，第一次见！

例题2

先是画出y=x+(1-C)的线段，斜率为1；然后画出C=N的线段，注意C=N时斜率为N。

两条积分曲线不会相交！两条积分曲线也不能相切。

存在与唯一性定理：

通过点(x0,y0)，y’=f(x,y)有且仅有一个解。“有”是存在性，“仅有”是唯一性。f(x,y)必须是连续函数，函数在这一点内的邻域必须连续，fy(x,y)（函数关于y的偏导数）在这一点也连续。