[第5集] 一阶自治微分方程

根据之MIT微分方程视频所做的笔记—[第5集] 一阶自治微分方程。

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视频地址：http://open.163.com/special/opencourse/equations.html

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这节课的内容：

自治微分方程

微分临界点

自治微分方程

表示右侧不含有自变量。

dy/dt=f(y)，对于不同的y，y的斜率是不同的。这里y=y0，不是指这个曲线就是y=y0，而是表示y取值是y0，此时的斜率是f(y0)。对于同一个y0，斜率是相同的，但是积分时会有自由常数，所以才是一组积分曲线。

临界点

f(y)=0的点被称作临界点。临界点时，y=y0是方程的一个解。

y=y0是方程的解的话，同时它也是一条积分曲线，而积分曲线不能相交。所以y=y0是积分曲线的极限。积分曲线处于y=y0和y=y1之间的区域。根据f(y)与0的大小关系，可以确定积分曲线的走向。

例题（银行存款微分方程）

简单微分方程y=Ce^(rx).

作弊的出纳（偷利息）

匀速盗用，直接从利息中扣除。

临界点分析（利息公式）

1，f(y)=0时的y值是临界点，y0=w/r.即此时dy/dt=0.

2，dy/dt和y轴上，在y>w/r时，f(y)>0，y递增；y<w/r时，f(y)<0，y递减。

3，y/t轴上，初始点在y0以上的部分，随着t的增大，f(y)越来越大，y增加的速度也越来越大；

y0以下的部分，y递减，f(y)越来越小，y增加的速度也越来越小(减小的速度越来越大)。

临界点分析（人口公式）

1，积分曲线不会相交，所以各条曲线远离0，趋向于a/b;

2，a/b是稳定状态（稳定解），而0是不稳定状态（非稳定解）。

3，a/b是人口上限，0是人口下线（初始为0）。

临界点分析（收割三文鱼）

1，h表示每次收割三文鱼的量，

2，h>0，相当于把dy/dt向下平移；

3，在曲线与t轴相切时，得到只有一个临界点，这时候如果初值在临界位置以上，可以得到最大的hm，且可以保证y不会趋向于0。这个值hm就是三文鱼的最大收割值，生产上的重要应用。