[第9集] 二阶常系数线性方程

根据之MIT微分方程视频所做的笔记—[第9集] 二阶常系数线性方程

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视频地址：http://open.163.com/special/opencourse/equations.html

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这节课的内容：

齐次方程

特征方程

特征解

为保证线性，左侧必须是 y”+Ay’+ By = 0，右侧为0时叫齐次方程，右侧不为0时为非齐次方程。

一般二次方程的通解由两个任意常数的方程组成，因为要积分两次，产生两个常数。

初始条件通过选择适当的C1和C2来保证，如果给出具体的初值问题，就可以求出确定的C1和C2。

质点运动方程

质量乘以质点向右的加速度（X从平衡点算起，X位于右侧时，大于0，加速度向左）等于拉力加上阻尼的阻力。阻力方向始终与速度方向相反。

y1,y2的解应该是线性无关的，y1!=ky2。

得到二次方程的特征方程，请牢记特征方程。

解分三种情况：

1，根是实数，且不相等，r1≠r2

通解为:

过阻尼情况下，质点不会振荡，只会从一侧减速。

2，根是复数，存在两个根，他们是共轭复数，r=a±bi

通解为：

使用了一个定理，如果复函数 u+iv是一个实微分方程的复数解，y”+Ay’+By=0,则u,v都是这个微分方程的实数解。注意前面是指数解，后面是通解。

欠阻尼运动，振幅越来越小的振荡。

3，有两个相等的根，r=-a。

特征解：

如果y1是方程的一个解，则y=y1u是方程的另一个线性无关解。