根据网易公开课之MIT线性代数视频所做的笔记—[第35集] 期末复习。
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视频地址:http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html
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这节课的内容:
习题课
习题1:
r是秩,n是列数,m是行数;
矩阵相乘得到3行,m=3;
方程无解时,矩阵的一些行是其它行的线性组合,r<3;
方程有一个解,就可以用这个特解加上零空间的向量得到通解,现在只有一个,证明零空间只有零向量,r=n;
习题2
1,错。方阵的时候成立,如果不是方阵,det(AB) ≠det(A)det(B)(行列式的定义域是nxn的矩阵)
2,如果A的零空间不只是零向量,命题不可逆;如果r=n,零空间只有零向量,A的列线性无关,命令成立。
3,错。det(A)=0的时候就不满足了,半正定满足。
习题3
至少存在一个解,对任意右侧向量c有无穷多个解。
方程组什么时候有解?当行满秩时,即行向量线性无关;一共有n行,而且秩是n,所以至少有一解;因为对A^T的行数n来说,就等于A的列r=n,A^T的行线性无关。A^T的零空间的维数dimN(A^T) = m-r>0;所以零空间有很多值。
习题4
假设矩阵A有三列 v1,v2和v3:
a,解Ax=v1-v2+v3,求x。
矩阵乘法,x=(1,-1,1).
b,假设v1-v2+v3=0,解将不唯一:
如果为0,则x就在A的零空间中,因此零空间不止是{0},可以把v1-v2+v3加到如何解中,而Ax不会变,解不会唯一。
c,如果v1、v2、v3标准正交,v1、v2怎样的线性组合接近v3:
最接近v3的向量是零向量,以x、y、z轴为例,v1、v2、v3可以是标准基,即x、y、z方向上的向量。xy面上最接近v3,即z轴的点就是零点。因此,标准正交的时候,v3到面的投影是垂直的。0v1+0v2.
习题5,马尔科夫矩阵:
看出col1+col2 = 2(col3),矩阵奇异,一个特征值是0;
因为这是马尔科夫矩阵,列求和全是1的向量,则一个特征值是1;
迹是0.8,另一个特征值是-0.2;
A在K步之后,uk的值.
习题6:
不是精确解!字母加上帽子。
求这个向量b到矩阵列空间的投影P:最小二乘就是寻找投影,带入b即可。
画出方程组对应的直线:求出的解就是直线。
求一个b,使列的最佳线性组合为0:即b正交这些数列.